Recompensa de un millón de dólares para quien resuelva la conjetura de Beal.

Recompensa de un millón de dólares para quien resuelva la conjetura de Beal.

• Andrew Beal ha aumentado el dinero del premio para el problema que propuso en 1997.

El banquero texano Andrew “Andy” Beal ha ofrecido un millón de dólares para el que logre resolver el complejo problema matemático que él mismo planteó en los años noventa, según anuncia la American Mathematical Society. El empresario de Dallas, que ocupa el puesto 41 en la lista de los estadounidenses más ricos elaborada por Forbes, aumenta así los 5.000 dólares que propuso en 1997 cuando presentó la Conjetura de Beal por primera vez.

"Me inspiré en el premio ofrecido para el que probara el teorema de Fermat", dice Beal, un matemático autodidacta interesado en teoría numérica. "Me gustaría animar a los jóvenes a que estudien matemáticas y ciencias. Incrementar la gratificación me parece una buena manera de atraer la atención sobre las matemáticas en general y, especialmente, sobre la Conjetura".

La ecuación establece que si Ax + By = Cz, donde A, B, C, x, y, z son enteros positivos, siendo x, y, z mayores que 2, entonces A, B, y Cdeben tener un factor común primo. La Conjetura de Beal implica el último teorema de Fermat, que establece que no hay soluciones an + bn= cn, cuando a, b, c y n son enteros positivos, siendo n mayor que 2. Hace más de trescientos años, Pierre de Fermat aseguró que tenía la prueba de su teorema, pero no dejó constancia escrita de ello. Fue Andrew Wiles el que lo resolvió junto con Richard Taylor en 1990. Ambos problemas tienen en común una característica propia de la teoría numérica: son fáciles de explicar, pero extremadamente difíciles de probar.

El premio de Beal no es el único que recompensa a quien solucione un problema matemático. En el año 2000, el Clay Mathematics Institute creó siete premios de un millón de dólares, que son ahora conocidos como los Problemas del Milenio. Uno de ellos, la Conjetura de Poincaré, fue resuelto en 2003 por el matemático ruso Grigori Perelman, quien rechazó la gratificación económica.

El último teorema de Fermat (UTF) dice lo siguiente:

Para  un número entero mayor que 2, no existen números enteros positivos , con  sin factores comunes que sean solución de la ecuación

Es bien conocido el resultado, la frase del “margen demasiado estrecho” que Fermat dejó escrita en el Arithmetica de Diofanto y la historia de los intentos de resolución, hasta que en 1995 Andrew Wiles (con la ayuda de Richard Taylor) consiguió tan ansiada demostración.

Lo que quizás no es tan conocida es la historia de algunas conjeturas relacionadas con el UTF. Hoy vamos a hablar de una de ellas, denominada conjetura de Beal.

Imaginemos que en la expresión del UTF eliminamos la restricción de la igualdad del exponente en los tres términos. Es decir, dejamos libertad para los exponentes, pudiendo ser iguales o distintos, y en principio mayores que 1. Tendríamos una expresión así:

, con 

¿Habría soluciones? Evidentemente sí, de hecho habría infinitas. Por ejemplo, cualquier terna pitagórica, por ejemplo (3,4,5) para n=2. Pero bueno, esas eran esperables. ¿Hay más? Pues sí, por ejemplo

 y 

o

 y 

Las dos primeras tienen la característica de que las bases de las tres potencias tienen algún factor común, mientras que las otras dos no cumplen esa propiedad. Eliminemos las que tienen bases con factor común y quedémonos con las demás. Aparte de las dos que aparecen aquí, ¿hay alguna más? Pues sí, se conocen algunas más, pero parece que no muchas.

Todas estas soluciones del segundo tipo que se conocen tienen una característica común:alguno de los exponentes es 2. No se conocen soluciones en las que todos los exponentes sean enteros mayores que 2. Y de aquí sale la conjetura, de la creencia de que no hay soluciones sin ningún 2 en algún exponente. Más concretamente, éste es el enunciado de la misma:

Conjetura de Beal

Dados  enteros positivos con , si la expresión

es cierta, entonces  tienen algún factor primo común.

Esto es, la ecuación anterior no tiene soluciones enteras si las bases no tienen factores comunes y los exponentes son todos mayores que 2.

Este enunciado recibe el nombre de conjetura de Beal porque fue Andrew Beal quien la formuló en 1997. Andrew Beal es un banquero de Dallas de unos 60 años al que le gustaban las matemáticas, y que era un apasionado del trabajo de Fermat, en particular del UTF. El caso es que parece ser que el bueno de Andrew se entretenía pensando en este problema (de hecho cree que Fermat tenía esa solución maravillosa, además de un método de resolución de la ecuación de Pell que sigue siendo desconocido en la actualidad), y en generalizaciones del mismo, hecho que hizo que esta conjetura apareciera por su cabeza.

El primer lugar donde esta conjetura apareció publicada fue en Notices of the American Mathematical Society en diciembre de 1997. Tan interesado estaba el señor Beal por saber si esta conjetura era cierta o falsa que ofreció una recompensa económica a quien pudiera demostrar este enunciado o a quien encontrara un contraejemplo del mismo. Dicha recompensa es actualmente de 100000$, y todavía está esperando a alguien merecedor de la misma. Para cobrar el premio, se debe enviar la posible demostración o el supuesto contraejemplo al comité de la conjetura, formado por Charles Fefferman, Ron Graham y R. Daniel Mauldin. Además, la posible demostración debe haber aparecido en alguna publicación matemática de prestigio y debe ser aceptada por la comunidad matemática, y el posible contra ejemplo debe hacer sido verificado.